В том признаке равенства с высотой подразумевается, что высота между сторонами, и уж тогда треугольник задаётся однозначно.

Решала с помощью этих же формул, но за х взяла отрезки касательных из вершины А . Всё получилось просто и красиво.

Супер. Напишите для других зрителей.

@Геометрия Валерий Казаков, так те же формулы. Многочлен третьей степени легко раскладывается на множители.

Я тоже попробовала как вы - да красиво получается

@Ольга Лисицына Спасибо, что смотрите разные варианты.

Интересная и полезная задача.Равенство, конечно, я составил. Но оно показалось страшным и решать не стал.))

Вместе не так страшно решать.

@Геометрия Валерий Казаков вместе - шикарно!! ))

@Геометрия Валерий Казаков А не проще ли вместо что-то "решать" вспомнить школьшую геометрию и одно их ее правил: сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике всегда равна квадрату гипотенузы?.

@Vladimir Soukhatchev Вспомнить можно. Спасибо. А как вы найдете второе нужное решение?

Смотрю это видео - и пришло дежавю Недавно я проверял, будут ли некоторые простые параметры для треугольника генерировать более сложную в вычислительном отношении задачу, имеющую несколько решений, и я «нашел» это: Мы знаем стороны a, b треугольника и расстояние d от центра описанной окружности до стороны c - нам нужно найти радиус R описанной окружности. Из него «выпало» кубическое уравнение: R³ - (D² + A² + B²)R + 2DAB = 0 (D=d, A=a/2, B=b/2 ; konkrétně a=7√2 b=5√2 d=3) Только один корень из трех правильный (задача имеет другое решение, если центр окружности находится на противоположной стороне от стороны c, просто используйте D = - d) Интересно, придется ли мне изучать общее решение кубика - или его можно как-то упростить => в таком случае было бы очень приятно увидеть его на экране, y ваc Валерий.

Вы невероятный исследователь.

Шёл точно так же, но встал в тупик, когда начал решать кубическое уравнение

Да. Тогда я не зря рассмотрел кубическое. .

На калькуляторе запросто можно подобрать корень.

@Анатолий Викторов на калькуляторе и саму задачу решить несложно

@Анатолий Викторов Так это другой метод решения. Есть программы математчиеские, которые найдут тоже. Но это же геометрия, искусство решения задач.

Непонятно как вам пришло в голову решать Геометрическую задачку с помощью Стереометрии!

Прекрасно, оригинальная задача!

Спасибо. Мне тоже так показалось.

целиком согласна с вами

Мне не нравится моë решение - там получились кубы третьей стороны. Не доводя до конкретных цифр, посмотрю Ваше решение))). Да, мы совпадаем). Спасибо, что напомнили про деление в столбик уравнений!

Спасибо. Да, все не расскажешь. Но кое-что полезное приходится на помнить.

Тут задача в одну минуту, если вовремя увидеть и понять что это прямоугольный треугольник

Да, согласен. В этом фокус и прелесть геометрии, что сразу не видно.

Нужный треугольник не прямоугольный. Это было бы даже единственным решением если добавить условие что напротив неизвестной стороны острый угол. Ну а так угол напротив искомой стороны почти 105 градусов.

Сразу не видно

@Artur Djulukian там даже числа так подобраны, что видео что он прямоугольный, радиус 2, м катеты 6 и 8, первое что сделает любой человек, который хоть раз решал задачи на теорему Пифагору и обратную ей с такими числами 6 и 8, попробует покрутить через прямоугольный треугольник , а если записать формулу для окружности вписанной в треугольник, то сразу можно доказать

@Eli Depp Да, я дал такой ракурс. Но дело не в прямоуголльном. Мы же решали в общем виде, а оно сводится к кубическому. Просто с тройкой 6,8,10 легче корень 8 выщемить для уравнения. И все.

Задача интересная. К сожалению пока не нашëл геометрического решения.

Отличная задача.

Спасибо большое за ваше мнение

Любопытно. Если обобщить треугольник (стороны a и b, радиус вп.окр. r), то какое максимальное количество решений может иметь задача? Может ли получиться "хорошее" кубическое уравнение с тремя положительными корнями? Может ли обобщённая задача иметь 4 или более решений?

Замечательно, что вы так мыслите. Если решать графически, то x^3 и парабола (в парвой части ур-ия) дадут 2 положительных корня из-за кривизны парабол (но это конечно, без строго док-ва). Короче, уверен что 3-х нет. Почитайте "метод малых шевелений".

Есть тема для творчества. Алгебраическая геометрия называется дисциплина.

@Геометрия Валерий Казаков Понятно, что трех решений быть не может, по той же причине, по которой существуют только два треугольника с двумя заданными сторонами и углом против меньшей из них. О четырех решениях речи быть не может, так как в любом случае получается кубическое уравнение. Мне понравился вопрос от Eli Depp! Именно так и развивают математику люди, задающие вопрос: "...а что будет, если...?" Мне показалось интересным решить задачу в общем виде, когда действительно заданы (а,b,r). Сразу же стало понятно, что с помощью формулы Герона хорошее решение получить трудно, если вообще возможно выбраться из вычислительных "дебрей" в общем виде. Поэтому я пошел по пути нахождения угла между сторонами а и b. После достаточно длинных преобразований удалось получить кубическое уравнение в общем виде относительно tg(α/2). В частном случае, при сторонах a=6 , b=10 и радиусе r=2, это уравнение дает ТРИ положительных значения для tg(α/2): 0.5, 1.309 и 0.191. Первые два значения в точности соответствуют третьей стороне 8 или 4+4sqrt(5) соответственно. Третий положительный корень легко "отсекается" с помощью ОДЗ . Уравнение получилось красивое и не длинное, если интересно, могу показать.

А как насчет проверки полученного решения? И как это второе "решение" коррелирует с r = (a + b - c)/2 ?

Спасибо. Формула ваша для прямоугольного, для второго S=pr.

Задачу не решил, не хотелось лезть в глубь алгебры, а решение по проще не нашлось, то х=8 удовлетворяет условиям легко находится и это же показывает . что есть другое решение, где х будет больше, так как в АВС (6,8,10) самый большой угол АВС и длинная сторона 10, если строить АВС так что больший угол бутет ВАС то х естественно будет больше 10 .

Спасибо. Согласен.

Полученное кубическое ур-е можно значительно упростить введением новой неизвестной y=8/x.Подставляя x=8/y в исходное ур-е, получим ур-е y^3-2y+1=0. Подбором легко находим корень y=1(x=8) и т.д.

Задача интересная, но вы мысль не доложили до конца, что есть два варианта треугольников, удовлетворяющих данное условие, когда Х намного больше АС и треугольник не прямоугольный. Нарисовали бы его, буквально пару секунд, чтобы все въехали.

Согласна, задача интересная. Думаю, вы придираетесь: автор как раз весь ролик и доносил мысль о двух решениях и двух треугольниках. Он ведь рассмотрел задание треугольника двумя сторонами и высотой. А затем в конце решения как раз и подчеркнул, что существуют 2 треугольника, удовлетворяющие условию задачи.

Спасибо за ваше мнение. Да, можно было более выпукло остановиться, наверное. Ролик большой получился 14 мин. А время просмотра 5 мин. Все не скажешь. Но мы рады, что вам понравилась задача!

@Геометрия Валерий Казаков да просто нарисовать два треугольника с вписанной окружностью, тупо на 2 секунды, а то получается разговоров много про две стороны, а как их применить к окружности не совсем понятно.

Решил через кардано Получил 8, но не обратил внимание, что 4+4√5 тоже ответ ;)))

Вы гений, я никогда не решаю через Кардано.

@Геометрия Валерий Казаков да я если честно думал я уже в неправильном направлении иду и удалил решение ;((( Но потом смотрю способ прям как у вас Герон+плодадь по радиусу Только куб уравнение по разному решили ;)

@Свободный Математик Не спешите удалять, может пригодиться.

@Геометрия Валерий Казаков это точно, ну будет мне уроком

Я тоже немного улучшил вашу задачу. Усилил! Увеличил R=3. Не уверен что ваши зрители решат.

Да, можно рассмотреть общий случай.

@Геометрия Валерий Казаков При R=3 решений не будет.

@Бывалый А в уравнении хорошо видно, что решений нет?

проверяем является или нет этот треугольник прямоугольным... 1. Если является, то решение по формуле Пифагора. Также, проверяем на верность формулы для окружности вписанной в прямоугольный треугольник r= 1/2*(a+b-c), где а,b- катеты, с- гипотенуза! В нашем случае это прямоугольный треугольник, так как из r= 1/2*(a+b-c) получаем: 2=1/2* (6+х-10) х=8. это же значение верно и для Теоремы Пифагора: x²=10²-6² x=8__________ Если бы при проверке формул треугольник не являлся бы прямоугольным, то решение было бы иное: из формулы r =S:p (где r- радиус треугольника, S- площадь треугольника, p - полупериметр треугольника) и формулы Герона получаются формулы: p=1/2*(a+b+c) r²=(p-a)(p- b)(p-c), p- полупериметр треугольника, a,b,c- стороны треугольника

Спасибо. Ну и как вам решение?

ничего не понял... Как построить треугольник со сторонами 6;10; 4+4√5 так, чтобы сохранить вписанную в него окружность радиусом 2? Соответствует ли полученный треугольник условиям задачи?

Алгебра показывает, что да. Попробуйте Geogebrа, все получится

Валерий, эта ваша новая улучшенная задача также решается в уме, причем, в Одно действие с ответом 8. Мне не понадобилось даже прокручивать ролик до конца. Просто увидел "золотое сечение" и появился ответ. Простота и эффективность как-то не в почете...

Не знаю, комплимент это или нет. Но спасибо.

Надо было бы досмотреть до конца. Восемь тоже сразу нашел, но условие смутило...

@Viktor Viktor Да, наши ролики лучше досматривать до конца.

Замечательно! Ввели многих в заблуждение!

Никого не вводил. Такова задача. Вы правы, что иногда поверхностно смотрят на задание треугольника его элементами. А я вот решил усилить задачу, и получиласть новая.

Не уверен, что приведенное док-во прямого угла можно считать строгим. Пытался доказать более строго (поэтому долго молчал) - не получилось.

Уравнение дает корень 8, поэтому 6,8,10 стороны, и отсюда прямой. Логически вы правы, но я 8 как гипотетический корень и попробовать разложить многочлен. Вы хорошо все чувствуете.

@Геометрия Валерий Казаков Да понял я всё! Вы подставили гипотетический ответ (один из) в формулу, и всё срослось. В последней задаче я подставил гипотетический ответ (СD = 24, DК = 18) в формулу(a + b - c)/2 = R и всё срослось за 30 сек. Вы примете такое решение?

@ADEPT Ну, да. Я рассуждал как мог бы рассуждать ученик, я всегда так делаю (восходящий анализ).

@ADEPT Так уравнение следствие из системы дало всего 2 корня: 8 и другой. Это исчерпывает все варианты.

@ADEPT Да, кстати, вы правы: к формуле r =... еще обязательно прилагается a^2+b^2=c^2, иначе легко можно попасть в несуществующий.

Двухсотый лайк мой!😁🖐️ Как сторона прямоугольного треугольника может быть ещё равной примерно 12,94..,?Ещё раз послушаю.

200 лайков! "О, и как я счастлив" (В. Ободзинский)

Итоговый треугольник не прямоугольный. Угол напротив искомой стороны будет приблизительно 105 градусов. Вообще если не наличие окружности в задаче то по теореме косинусов максимальное значение стороны стремилось бы к 16 при угле близком к 180 градусам. Но окружность с нужным радиусом уменьшает количество возможных треугольников до двух. Один прямоугольный,а второй искомый.

В задаче не сказано, что треугольник прямоугольный

Дошел до кубического уравнения, а дальше сник.Не хватило настойчивости.

Это прямоугольный треугольник сразу видно

Правильно. Мастерство бьет класс.

минут пять смотрел в экран на паузе... с трудом в голове уложил зрительное решение максимума :) тяжко это, плавающий треугольник :)

Да, именно плавающий. Я тоже, когда придумал задачу, не поверил, что два решения. Но алгебра дает два. Все. Потом геогеброй проверю .

@Геометрия Валерий Казаков посчитай углы максимального решения. я в синусе закосинусил... ;)

Сторона ВС 8. А что есть ещё какие-то варианты?

Решается за 3 сек в уме

Ответ неверный (за 3 сек), так как нужно найти большее значение BC. Не поступили. Приходите на следующий год!

Слушайте решается же так просто. Х`2 +6`2= 10 `2 Х`2= 100 - 36 Х`2= 64 Х= 8 вот и все

СПАСИБО. К СОЖАЛЕНИЮ, ОТВЕТ НЕВЕРНЫЙ.

Но спасибо, что смотрите нас.

Зачем так много писать и говорить? Прямоугольный треугольник... Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. И всё... Зачем круг в середине? Сто плюс тридцать шесть равно икс квадрат, Далее: икс квадрат равно сто минус тридцать шесть, Далее:икс квадрат равно шестьдесят четыре, Икс равен восьми

Я математик, поэтому говорю по делу: посмотрите ролик и убедитесь в вашем неправильном ответе.

Был неправ.

Спасибо, что смотрите нас.

Я нашёл

Супер!

otvet 8

Noy!

@Геометрия Валерий Казаков Men buni invertor dasturida chizib ko'rdim va u dastur hisoblab 8 ni berdi. Siz qo'lingizga chizg'ich va sirkul olib amalda buni chizib o'lchang javobi 8. xa ikkala javob ham to'g'ri ekan 4+4*(5)^0.5 va 8