При подсчёте на калькуляторе, можно сразу заметить, что первое слагаемое примерно равно 1.618, второе - 0,618, у кого глаз намётанный, сразу увидит, что это - золотое сечение. Т.е. √5+2 = ((√5 + 1)/2)³, и это очень легко проверить, возведя правую часть в куб. Поэтому первое слагаемое равно (√5 + 1)/2, второе соответственно (√5 - 1)/2.

Спасибо. Великолопено! А я даже не задумался над этим, хотя читаю целую лекцию по золотому. Супер!

на калькуляторе нечестно

Не смотря ролик, скажу, что надо умножить и разделить на два, а двойку, на которую умножаем, внести под корень :). Подкоренные выражения свернутся в куб суммы и куб разности. Я такую штуку в школе решала 24 года назад, до сих пор помню :)

В том случае не нужно было решать, а надо было доказать, что выражение равно 1, поэтому способ из видео не подходил.

@Zeev Sobol когда есть готовое решение, можно предполагать, что угодно

@Zeev Sobol зачем вы это пишите? Есть потребность в самоутверждении? Я, будучи школьницей, нашла красивое решение такой задачи. Формулу Тарталья-Кардано мы в школе не проходили

@Katsiaryna Bazulka,что за наезды,причем тут самоутверждение?человек рассказывает как такая задача может решаться исходя из того,что подобные задачи решаются собиранием полных квадратов,кубов и т.д. под корнем,и это не он один знает)

Здорово. Спасибо за задачу и ее оригинальное решение.

И вам спасибо, что смотрите нас.

Всё отлично, спасибо за урок.

И вам спасибо.

Комментарий написал до того, как просмотрел ролик. Все описанные ниже вычисления можно провести без бумажки, и дейсвительно, не более чем за несколько минут :) После возведения этой разницы в куб, несложно почитать, что этот куб равен 4 минус эта же разность, умножегная на 3. Обозначив искомую разность за x получаем уравнение : x^3 = 4-3*x, очевидным корнем которого является x = 1 Других корней нет, так как 3x^2 + 3 = 0 не имеет корней

@Zeev Sobol 3x^2 +3 =0 - это результат дифференцирования исходного кубического уравнения. Если нулей у этой производной нет, значит у кубической параболы нет эктремумов, и поэтому корень только один

@Zeev Sobol ну если и так ясно, что других корней нет, то зачем тогда делить исходный полном на x-1, чтобы получать полином второй степени, у которого нет корней? Я не увидел, когла решал, обоснования единсивенности корня через сумму двух монотонно возрастающих функций, поэтому через производную анализ провел.

Почему из формулы разности кубов не вывести значение (a-b), сразе не получить результат? Кубы уберут корни кубические, произведение корней даст 1.

Спасибо огромное! Очень интересно.

Спасибо Наталья! Извините за поздний ответ.

Уау! Очень красивое решение)

Спасибо.

Обязательно использую это на факультативе!

«Алгбера» сразу резанула глаз. Оба-два. 😉 Про мысль и клад вроде Дмитрий Иванович говорил. Он же говорил и «сжигать нефть – всё равно что топить печку ассигнациями». Кардан Феррари. И Эварист Галуа, родоначальник современной общей алгебры. Это же просто праздник какой-то! А «Расписание на послезавтра» обязательно пересмотрю.

Да, Менделеев! Вы гений.

@Геометрия Валерий Казаков Это я топологией и бесконечномерными пространствами объелся. А новогодняя гирлянда так и недопаяна. 😉

здравствуйте.приравняем х-у.умножаем обе стороны на 2 внесем 2 под корень.бедет восемь корень пять плюсь шестнадцать.это один плюсь корень пять в кубе.очень легко.

Поскольку из постановки задачи понятно, что кубические корни должны извлечься и всё нехорошее должно сократиться, то будем искать подкоренные выражения в виде куба двучлена с неопределенными коэффициентами. Для первого корня √5+2=(a+b√5)^3. Отсюда a(a^2+15b^2)=2 и b(3a^2+5b^2)=1. Ну и тут очень сложно не заметить очевидное решение a=b=1/2. То есть√5+2=(√5+1)^3/8. Со вторым корнем происходит то же самое: √5-2=(√5-1)^3/8. Счастливо извлекаем корни и вычитаем второй из первого. Получаем 1.

Здорово, молодец!!!

Отлично.

Спасибо уважаемый Валерий Казаков, очень интересное и зажигательное изложение, но текст плохо виден, к сожалению, из-за размера и жирности шрифта ...

Спасибо. Я уже купил другой планшет, все крупнее. А этот лучше смотреть на телевизоре.

Понимая, что путь к знаниям тернист, я всё же прошу писать покрупнее, раза в два.

Спасибо. Извините за позний ответ. Благодаря вам я купил новый планшет и никто не жалуется уже.

Блестяще!

13:55 - начало решения

Спасибо! ;) 😀

Жаль что вы не были на моих лекциях. Любая лекция - это кино. А решения можно спокойно почитать в Сканави.

@Геометрия Валерий Казаков не знаю, о чём вы. я сейчас в 10 классе учусь

@e2e4 Спасибо. Мне показалось, что вас смутило то, что решение примера начинается не сразу, а попозже. Я пытался объяснить, что у нас задача - это повод посмотреть на мир со всех сторон. Спасибо, что смотрите канал.

Уважаемый Валерий! Спасибо, что даёте возможность интересующимся освоить хорошие приёмы решения - меня этому учили в обычной школе в конце семидесятых... Сегодня учителя школ подобных приёмов не знают, увы. Одно замечание: икс, игрек и зет - это мужской род и несклоняемые буквы ( неграмотно говорить"иксов" и прочее), все остальные буквы латинского алфавита имеют средний род и склоняются. Надеюсь на понимание - наша задача вырастить грамотное поколение, причём во всех дисциплинах.

Согласен, но только в принципе. Язык - субстанция живая. Сегодня полстраны, в том числе и дикторы телевиденья, говорят "по ходу", как опытные зэки. Кроме того, у Александра Галича есть песня "Жуткое столетие", которую замечательно исполнял В. Высоцкий. Там такие слова (конечно, от лица, но все-таки ...) "Ну, а он поет, как хор у всенощной. Все про иксы, игреки да синусы ...". И хотя правильно говорить кофе "еспрессо", но народ говорит "эКспрессо". И мы все на кафедре говорим "иксов, игреков", включая докторов наук. В русском языке очень много алогичных вещей и исключений. Так что согласен, но только в принципе. Да и word не подчеркивает "игреков", возможно допустимо двоечтение.

А вообще, это очень интересно, что только x, y и z мужского рода. Я не знал. Нужно будет исследовать вопрос.

Что бы с нами всеми было, если б Галуа не погиб?

Да, Сарсед. Да еще в 20 лет! Ужасно жаль.

Мне вот интересно,а если дорешать то квадратное уравнение,которое помимо x-1 дает ноль.там получаются комплексные корни и вот вопрос что они означают?они означают значению выражения если корень из 5 взять как со знаком минус?но тогда оно тоже всего одно значение,а из уравнения у нас два комплексных корня.то есть ответ 1 получается при положительном значении корня из 5,один комплексных корень при отрицательном значении корня из 5,а еще один корень?а возможно ли в подобных задачах брать первый корень с плюсом а второй с минусом,тогда у нас еще два варианта ответов,тогда еще один корень должен был получиться.мне кажется,это нужно было обсудить)

Спасибо. Канал для школьников. В основном 8-10 классы. Комплексные не изучают. Но вопрос хороший. Спасибо.

Восхитительно

Спасибо большое за комментарий.

Такие задачи я сразу умножаю подкоренные выражения и ответ готов

Спасибо, что смотрите наш канал.

Пусть первый корень a, второй корень b, ab=1, a^3-b^3=4. Разность кубов раскладываем по формуле 7го класса, искомое a-b обозначим u, неполный квадрат суммы будет u^2+3 (учитывая что ab=1). Получаем u(u^2+3)=4, мы ищем u>0, при u>0 слева функция возрастающая, значит единственный корень u=1. Всё. Ну и ещё можно после ответа отметить, что раз a =1/b и при этом, как выяснилось, a = b+1, то это очень известные числа: большое и малое золотые сечения. Никакое возведение суммы в куб и группировка для решения кубического здесь не нужны. Хотя приём как выразить неполный квадрат через квдрат разности и произведение всё-таки в 7м классе ещё не проходят, нелинейные системы решают вообще в 9м, но что этой задаче делать на международной олимпиаде, для меня загадка. Задача для 9го класса максимум. Ну наверно не школьный, а где-то муниципальный уровень.

Спасибо. Да, можно было монотонность функций применить для единственности корня - это скорее всего, но ролик удже выходил за рамки времени. Замечу, что современные 7-классники не знают формулы куба разности. К сожалению.

Так ведь семиклассники, если на то пошло, не только кубических, но даже квадратных уравнений ещё не решают - их ведь только в 8м классе проходят, во 2-3й четверти, после рациональных преобразований и квадратных корней, что логично. Так что они даже не слышали про дискриминант, которым Вы объясняете отсутствие других корней) А формула разности кубов есть в обычной школьной программе 7го класса. Если уж наш условный семиклассник владеет нетривиальным разложением кубического группировкой (это задача "со звёздочкой" для 7го класса), сам выводит формулу куба суммы (это раздел "со звёздочкой" в 7м классе), да ещё и знает темы за 8й класс, то уж обычную формулу разности кубов он знает наверняка. Это всё-таки всего лишь обязательная программа 7го класса, в отличие от всего остального. По правде говоря, эта формула тут единственное, что не выходит за рамки программы 7го класса. Я уже не говорю о том, что в 7м классе вообще ещё не проходят даже квадратных корней, так что 7классник тут и условия-то не поймёт. В общем, это очень хорошая задачка, но за 9й класс. Когда уже знают корни, приёмы решения уравнений (включая симметрические замены, монотонность функций и разложение), и хорошо натренировались упрощать иррац.выражения хотя бы с квадратными корнями в 8м классе. Кубические корни кстати и проходят только в 9-м, как Вы верно отметили в ролике. 7-класснику такое явно рановато. Даже для восьмиклассника это большой забег вперёд, в 9й класс.

@AZ Спасибо большое за столь подробный ответ. Вы же понимате, что все эти 7-классники - это условность. В частности, 7 класс может достаточно просто решать квадратные уравнения выделением полного квадрата. Я о том, что жаль, что исключили куб суммы и раности из программы.

Да, семиклассники решают ещё квадратные разложением трёхчлена на множители разделением линейного члена на сумму двух слагаемых и потом группировкой. Там разложение на множители как раз проходят, заодно и уравнения решают, которые методами 7го класса раскладываются. Но дискриминанта они всё же не знают, как и вообще корней. Но вот сумму и разность кубов из программы никто не убирал, они есть во всех учебниках, просто в школе их считают сложными и не заставляют всех их учить. Но те кто решает задачи со звёздочкой уж точно их знают: в школах такие примеры разбирают, но только один раз, кто понял, тот понял, остальных не заставляют и на контрольной их не дают, разве что со звёздочкой. В учебниках есть целый раздел упражнений на эти формулы с кубами, но их почти не задают. Потом, в разделе "разложение на множители разными способами", тоже встречаются примеры, где нужны формулы с кубами, но их в шклле обычно пропускают или дают самым сильным "на пятёрку". Более того, в учебниках есть и формулы куба суммы и куба разности, они там же где квадраты суммы и разности, и даже вывод этих формул есть, но на них нет целого раздела упражнений, всего несколько простых упражнений в конце раздела про квадраты. Вы же понимаете, что продвинутый семиклассник знает даже треугольник паскаля, это тоже есть в учебнике, и целый раздел с упражнениями, но он со звёздочкой, не по программе. Так что разумеется он и куб суммы знает и куб разности, а уж сумма и разность кубов для него вообще обычная школьная программа) То, чему учите Вы по геометрии, даже я в школе не всё знал, да и сейчас не всё знаю, задачи-то решаю, но часто методами 10-11 классов; если уж Ваши ученики такие сложные темы по геометрии проходят, странно предполагать, что алгебру они не изучили хотя бы в объёме учебника, ну или что им сложно что-то из учебника понять. Тем более то что в программе. Вы наверное также знаете, что как раз с геометрией у многих гораздо хуже, чем с алгеброй, поэтому так ценны Ваши разборы, большое спасибо за них.

Правильно, это выражение обозначить за х и возвести обе части в куб. Преобразовать и выйдем на кубическое уравнение, решив его, получаем 1.

Спасибо. Извините, что поздно.

не понял,ну в ролике так и было?)

@Станислав Марченко Согласен. Может они ролики не смотрят: решают и сразу коммент?

обозначаем это число за х, далее если х = a-b ->x^3 = a^3-b^3-3abx. получаем уравнение x^3+3x-4=0 в котором единственный корень это х=1

Именно так мы и решили.

Рады, что вы заинтересовались каналом! У нас много классных задач на любой вкус.

Классные видео, спсибо, но лично мне было бы интереснее смотреть прямое решение, без длинного вступления / подводки.

Согласен. Но у ютуба появился предпросмотр. И можно, не заходя в ролик, сразу увидеть решение. Поэтому прелюдия оттягивает этот момент. Кроме того, моя основная аудитория - ученики 7-9 класса. А им прелюдии нужны. Эти типичный прием возбуждения интереса к расказчику (Д. Карнеги ). В любом случае, я рад, что вы с нами. Терпите.

@Геометрия Валерий Казаков Спасибо за комментарий, будем получать удовольствие от дополнительной информации!

Вообще-то, учебник по «алгебре» называется НЕ «алгебра», а «алгебра и начала анализа» и это не случайно. Там кроме алгебры есть ещё и начала матанализа, как ни странно

Спасибо, я в курсе. В 7-9 называется "Алгебра" я их и имел ввиду. По ним и решали. А в 10-11 да, как вы сказали.

Красиво!

Спасибо, что смотрите нас.

Современные дети ни фига такое не решат. У них телефон - главнее мозга, и все это поощряют

Спасибо. Для этого и пишем ролики

В превью *у вас 3 минуты" -> *решает 19 минут 30 секунд*. Мне кажется быстрее было бы подобрать приблизительные значения корня даже без калькулятора. Я не жалуюсь, просто мысли вслух. Понятно что тут все фапают на преобразования

Это Вы должны решить за 3 минуты! А мне незачем решать задачу, решение которой я прекрасно знаю. Это же учебное, обучающее видео. Мини-занятие. Но спасибо, что вы так деликатны в своих замечаниях!

А можно 2 в квадрат возвести и тоже 1 получить

Спасибо. А как вы избавитесь от кубических корней?

А теперь, назовите пример, когда в реальной жизни, например, на работе (на какой, в каком случае) вам может потребоваться решить такое выражение и без решения будет невозможно обойтись. У вас три минуты на размышления. Пишите ответами на комментарий свои результаты.

Правильно. Согласен. Я бы школу заканчивал в 3-м классе и хватит там дурака валять!

Прекрасное об'яснение, со стремлением дать детям( имеющим желание учиться) как можно больше ЗНАНИЯ. Спасибо, уважаемый Валерий!

@Геометрия Валерий Казаков, её все и заканчивают в 3-м классе, далее начинается фарс и игра в "я хожу в школу". Выйдите на улицу, проведите опыт: задайте людям вопросы из задач за 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 класс и посмотрите за какие классы число верных ответов будет приближаться к 100%. Вы можете возразить, сказав, что до 4 класса всё простое, а после всё сложное, вот люди и не запомнили, не выучили. Не примы возражение, потому как для человека без знаний, ребёнка, сложность (трудность осознать и понять принцип, здесь и далее) в понимании операции "вычитание" такая же как и сложность в понимании операции "побитовая инверсия" или "исключающее или", сложность в понимании десятичной системы исчисления такая же как и двоичной, сложность понимания чисел как таковых, одинакова со сложностью понимания бит и байт, вот только булеву алгебру операции в каком классе проходят? И да, я проверял. Одному сыну сначала рассказал про числа и десятичку, сложения и вычитания, а другому про биты, байты, двоичку и операции булевой алгебры, то есть один до двоички не знал ничего о числах вообще, а второй с точностью до наоборот. Просто для меня и двоичка и десятичка и операции базовые применяются примерно одинаково в жизни (я программист, который пишет ПО на низкоуровневых языках) и могу свободно, на лету считать яблоки, птиц в двоичке или в десятичке и в игре с ребёнком могу так же легко инвертировать биты в 32 битном числе, представленном в десятичке как 5928627, так же легко как, из 5928627 вычесть 7. Я думаю, суть в том, что после 3-го класса: 1. Все, искренне, внутри себя решили и поняли, что плевать на всё это хотели и сегодня учат, через неделю забывают и на место забытого новое учат, лишь делая вид, что учатся. 2. Так как всё что далее 3 класса мало применимо в жизни, человеку проще и легче найти по мере надобности (1 раз в 5 лет) в книгах, поисковых системах, чем освежать знания постоянно. Вопрос того, что для человека гораздо важнее уметь распознавать манипуляцию и манипулировать другими людьми, чем уметь считать корень квадратный, я вообще оставляю за кадром. Хотя вся основа жизни, это манипуляции и противостояние манипуляциям: акции и скидки в магазинах, модели автомобилей, покупка и продажа квартиры, трудоустройство самому, поиск сотрудников и конечно же самое главное - выбор спутника жизни и продолжение рода.

@Монологи о железках Большое спасибо за столь подробный ответ. Видимо наболело. Вы правы, что математика не носит утилитарный характер. Математика - учит доказательным рассуждениям, которые нужны всем. То есть, математика - искусство красиво мыслить. Не более. Кстати, Сергей Брин был олимпиадником по математике. Как и Стив Возняк. Но это к слову.

Почему так мелко о серьезном предмете?

Спасибо. Полностью согласен, но и так некоторые зрители ругаются, что я делаю ототклонения от задачи, какие-то дополнения. Мол, только задача, решение и все! Вынужден давать хоть косметически (какую-то схему для учителя), как повод для важного разговора по данной теме. Другие блогеры и этого не дают. так что, вы абсолютно правы.

Господа?!! Господам, уважаемый, не до математики.Они заняты набиванием карманов.

Спасибо за комментарий.

Нам в школе объснили, что в математике нет отнимания. Отнимают лишь игрушку у детей. Потому выпускники великолепного учителя из Куйбышева Воскресенского Сергея Николаевича не употребляют слово отнять в математике!

Не очень правильно Вам обьяснили в школе. В мат. энциклопедии написано "Вычесть - значит отнять от одного числа другое .." То есть, это синонимы. Вообще-то, я сторонник борцов за чистоту языка. Только вот язык непрерывно меняется. Лично мне не нравится слово "вычесть", так как "ыч" делает слово грубым, шипящим и фонящим в микрофон. По этому вместо "вычтем", я говорю "отнимем". В учебнике Виленкина есть разьяснение для детей: "можно говорить "от 10 отнимем 32", а можно "из 10 вычтем 3". Как вам удобно. Да, и я раз за выпускников Воскресенского.

Ради исторической справедливости, формулы для решений кубического уравнения нашел Тарталья

Да, тот еще был нехороший человек, это Кардано!

Пишите очень мелко !

Спасибо, учту!

Целая лекция мелкими... не у всех хорошее зрение, ներվայնացա

Извините. Укрупним

Не вижу смысла во всех этих задачах - примерно как разбор разных шахматных партий. Все можно решить на компе или даже калькуляторе. Вот если бы стояла цель у математиков какая-то философская - например, понять условия существования евклидовой метрики на дискретном множестве с выборочно единично связанными элементами. Это бы давало ключ к пониманию фрактальной структуры эфира. А эти ваши задачи бессмысленные - только время отнимают и отвлекают людей от действительно важных вопросов.....

Согласен, поэтому алгеру не разбираю практически. А только геометрию. Там комп бессилен!

Простите, а какие вопросы дейстивительно важные? Может я что-то пропустил?

@Геометрия Валерий Казаков у всех свои приоритеты, но на мой взгляд важные вопросы это те, которые влияют на развитие общества и технологий, проясняют наше место во вселенной и т.д. Например, доказав наличие эфира заполняющего все пространство, и несостоятельность гипотезы о "пустом пространстве", однако почему-то трех-четырех-мерном и имеющем евклидову метрику, я также доказал и гипотезу о вредительстве в физике и математике, специально уводящем человечество от изучения основ строения материи, дающих понимание гравитации, получение свободной энергии и т.д., в сторону дешёвых тривиальных технологий, усиливающих социальное неравенство и контроль над населением. Наука стала хуже религии : если религия изначально для идиотов, то наука с понтом, для тех кто понимает несостоятельность религии - вот вам трехмерное пустое пространство (безразмерных элементов -точек), которыми можно что угодно нарисовать , но ничего нельзя объяснить.... Которого, в силу его абсурдности, физически не существует )) а что существует вместо него? А ничего (!) 2 метра пустоты и 3 метра пустоты - одно и то же )))

0

Ошибочка!

Для любителей поудивлять. {[k^2+(2*n+1)^3]^(1/2)+k}^(1/3)—{[k^2+(2*n+1)^3]^(1/2)—k}^(1/3)=x . Возводим в куб обе части по предложенной формуле , делаем предложенную замену — получаем : f(x)=x^3+3*(2*n+1)^3*x—2*k=0 . Функция f(x) — возрастающая при любых икс , при n>=0 . Значит имеет только один корень. При k={x*[x^2+3*(2*n+1)^3]}/2 при любом ЦЕЛОМ икс получаем набор ЦЕЛЫХ ‘k’. Например : при x=1 — k=0,5*[1+3*(2*n+1)^3]={2}; {41} ; {188} ……. . При x=2 — k=4+3*(n+1)^3= {7} ; {28} ; {85} … . Подставляйте и удивляйте решением «сложных» примеров. С уважением ,lidiy27041943

Пожалуй, этот комментарий полезнее и интереснее самого ролика :)

Спасибо. Да, монотонностью можно было, конечно, доказать единственность корня. Не хотелось до последнего лезть в функциональный метод решения (его пришлось бы расширить: четность, ограниченность и т.д.) и, кроме того, решали на уровне 8-го класса. А так, да. Это очень мощный метод.

я решил в уме. Алгоритм, как у автора. Правда, сначала попытался заюзать разность кубов - не получилось; далее попробовал через куб разности - получилось.

Отлично! https://youtu.be/QFZg58P7uog?si=8PIsjh1CjXm6_IQP

А ещё более мелко писать можно? Чтобы вообще ничего не увидеть

Да, для телефона мелковато. Но больше никто не жаловался. Постраюсь укрупнить

Болтает, болтает

Варя, я рад, что вы вернулись в комменты. У нас не просто решения задач. У нас мини занятия для начинающих олимпиадников. Если вам мешает моя "болтовня", то промотайте ролик до ответа и все! А зачем это писать в комменты? У вас какие-то проблемы в жизни? Все будет хорошо.