Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы, r = (a+b-c)/2. Площадь S = r*P/2. Отсюда r=2S/P=2. Значит, a+b-c = 4. В то же время a+b+c=P=30. Вычитаем первое уравнение из второго, чтобы сократить a и b; получим 2c = 26 и c=13. Всё.

Формула тогда, c=P/2 - 2S/P

Алгебраическое решение: а, b- катеты; с - гипотенуза. (a+b+c)^2=a^2+b^2 +c^2+2ab+2c(a+b). Далее заметим, что a+b+c= P , a^2+b^2= c^2, ab= 2S, a+b = P-c. Перепишем начальное выражение P^2= 2c^2 + 4S +2c(P-c). Раскрыв скобки и сократив, получим уравнение: P^2= 4S+ 2cP. Решив уравнение относительно c, получим: c =(P^2-4S)/2P. Подставим численные значения: c= (900-120)/60= 13.

Совершенно верно Вы правы господин Адамян так и есть c=P/2- 2S/P ,с=30/2-2×30/30=15-2=13

@İlham İsgəndərov откуда такая формула с= Р/2-2S/2? Не догоняю, однако

@Лиза (P²–4S)/2P = P/2 – 2S/P

@WX-78 спасибо, однако.

Здравствуйте. Вспоминаю свой 4-й класс из молодости, снова за партой, снова разинув рот. Всегда людей привлекали геометрические задачки, особенно с треугольником, может мозг так "развлекается".? Каналу- лайк.

Когда решаю или слежу за ходом готового решения в голове исчезает старческий шум и становится ясно в глазах!

Великий Гаусс сказал, что математика ум в порядок приводит

Андрей, спасибо. Можно ещё алгебраическим способом.С помощью системы уравнений. Нужны детям умения по возведению трёхчлена в квадрат.

Алгебраический метод: пусть а и б - катеты, с - гипотенуза. Запишем систему уравнений, где ab/2=30, a+b+c=30, по теореме Пифагора a^2+b^2=c^2. Первое уравнение домножим на 4 и получим 2ab=120, из второго уравнение выразим a+b=30-c, третье уравнение запишем в виде формулы сокращенного умножения квадрата суммы предварительно вычтем 2ab чтобы не менять структуры уравнения. Тогда получим (a+b)^2-2ab=c^2. Подставим первое и второе в третье уравнение: (30-с)^2-120=c^2. Раскроем скобки, приведем подобные откуда с=13. upd.: в принципе почти так и было в данном видео :)

Через формулу Герона можно решить. Там бывают страшные преобразования, но в целом можно спокойно решить)

Чё-то сначала подумал про классические 3х4х5, но как же вовремя я вспомнил про не менее классический, но чаще забытый 13х12х5 ))))

Спасибо большое за урок 💯👍

По теореме о том, что в прямоугольном тр-ке r=p-c (доказывается легко — там образуется квадрат), откуда площадь pr=p(p-c) → 15(15-c)=30 → 15-c=2 → c=13. r — радиус вписанной окружности p — полупериметр c — гипотенуза

ПРЕКРАСНЫЙ ФОРМАТ! СПАСИБО,удачи!

P.S. Заслушался, даже забыл лайк поставить. Пришлось возвращаться. Отличная драматургия ролика!

a*b=60, a+b+c=30 отсуда a+b=30-c. Обе стоаны к квадрату + Теорма Пифагора a^2+b^2 +2ab=900-60c+c^2, 120=900-60c, c=13 Кто в теме поймет

очень красивое решение! п.с. второе решение тоже класс!

можно через систему уравнений, состоящую из формулы герона и формулы площади прямоугольного треугольника (половина произведения катетов).

Отлично! Молодцы! Оба способа годны!

Вам спасибо! Не знал такую формулу площади треугольника, видимо в школьной программе 80-ых не давали.

Алгебраическое решение (система из 3-х уравнений) полностью повторяет вариант г-на Щетникова только без всякого чертежа. Ну, а метод через радиус вписанной окружности безусловно хорош!

Ничего не скажешь, кроме того, что оба решения красивы! Как жаль, что эту красоту осознаёшь так поздно... А молодым- трава не расти- даже ни грамма заинтересованности, к сожалению, сколько ни стараешься им объяснить...

А для меня математика была одно удовольствие, забавление. И по сей день. Дети мои удывлялись что за истязания (по ихнему) устраиваю себе

Both are elegant solutions. Very nice...thank you!

Оба классные решения, браво!👏👏👏 Я решил еще проще. Так как и периметр и площадь целые числа, значит длина сторон треугольника с большой вероятностью тоже целые числа. Причем множество двух этих чисел равно 60. Берем пары чисел для этого равенства, например 12 и 5, 10 и 6, 20 и 3. Вычисляем через периметр гипотенузу и потом проверяем все стороны через теорему пифагора.

Была равнодушна к геометрии, теперь хочется восполнить пробел, тем более, что внук скоро будет её изучать в школе.

Я сделал так. Вписал окружность в треугольник, и нашёл по формуле r=2. Также формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник это (a+b-c)/2. Отсюда a+b-c=4 Далее лично я подбирал такие числа, где a*b=60, потом находил по a и b по теореме Пифагора с и проверял формулу а+b-c=4. У меня сошлось довольно быстро, что a и b это 5 и 12, а с=13

S = 30, P = 30 имеем систему уравнений: a + b = 17 ½ a * b = 30 ⇒ a * b = 60 решаем дальше систему и получаем следующее: b = 17 − a a² − 17a + 60 = 0 корни второго уравнения: 5 и 12 — это и есть длины катетов треугольника..

Пожалуй, впервые решил легко и просто как г-н Щетников, нарисовав картинку из известного доказательства теоремы Пифагора. *Спасибо!*

Какие Вы молодцы!

Оригинально, просто, красиво, наглядно! Даже дедушка Пифагор не пригодился!

Во втором рещении можно подставить, что гипотенуза равна полупериметру минус радиусу вписанной окружности

Хорошие решения!

спасибо за труд.

Периметр и площадь имеют разные единицы измерения, а именно метры и соответственно квадратные метры. Надо быть внимательным.

Второе решение более изящное !

Мне уже 60, и всё жду, жду, ну когда же наконец мне понадобятся все эти уравнения.

Красота! Я решал алгебраически, находил сначала катеты. Выразил гипотенузу по Т. Пифагора приравнял периметр и площадь через неизвестные катеты, радикал влево, остальное враво, возвёл в квадрат, привёл подобные получилось xy( xy/4 - x - y + 2)=0 xy/4 - x - y + 2=0 xy/2 = 30 по условию 15-х-у+2=0 или у=17-х ху/2 = х(17-х)/2=30 х^2-17х+60=0 по Виета (х-5)(х-12)=0 Откуда очевидно катеты равны 5 и 12 соответственно. Гипотенуза = 13 по Пифагору или как египетский треугольник, что больше нравится 👍

А я даже старика Виета привлекать не стал (мозги тупят к концу рабочего дня), а тупо посчитал по формуле. Благо вычисление Sqrt(289 - 240) труда не составляет. А вообще, каждый раз, когда я вижу такого рода задачу, вспоминаю исторический анекдот про Декарта, которому задали известную задачу о двух пешеходах, двигавшихся навстречу друг другу) и мухе, которая летала между ними, пока пешеходы не встретились. Декарт неандолго задумался и выдал правильный ответ. -- Я так и знал, что вы догадаетесь, -- сказал человек, задавший задачу. -- До чего догадаюсь? -- удивился Декарт. Оказывается, он вовсе не догадался, что можно умножить скорость мухи на время, через которое пешеходы встретились, и тем самым получит расстояние, которое пролетела муха. Вместо этого он составил в уме числовой ряд и нашёл, к чему этот ряд сходится. Я не Декарт, с числовыми рядами в уме обращаться не могу. Но в данном конкретном случае взять систему из двух уравнений с двумя неизвестными, выразить одну переменную через другую, подставить в другое уравнение, свести его к квадратному уравнению, получить катеты треугольника как корни квадратного уравнения и вычесть из периметра сумму катетов оказывается намного быстрее, чем найти простое красивое решение. Хотя немного жалко, конечно: технологизация убивает красоту

Задачу решил графически. Так как треугольник прямоугольный (х × у) ÷ 2 = 30; х = 60÷у; х + у + √(х²+ у²) = 30. Графики пересекаются в точках (5;12) и (12;5), Значит 12² + 5² = z²; z = ±13. Условию задачи удовлетворяет z = 13. Ответ: 13

просто прелесть!

Вообще решение простое из обычных знаний. S=xy/2 =30, xy=60, P=x+y+z=30, x+y = 30-z, x^2 + y^2 = c^2, x^2 + 2xy + y^2 - 2xy = (x+y)^2 - 2xy = z^2, (30-z)^2=z^2+2xy, 900-60z+z^2=z^2+120, -60z=-780, z=13.

А если число 60- на простие множители разложить? И получив несколько вариантов, учитивая что P=a+b+c=30 и теорему Пифагора можно получить решение... .

Нельзя, бывают не только целые числа. Так можно только подобрать ответ в данном случае и все равно нет гарантии, что нет другого..

Ай какая задача. Решил одним способом, а тут ещё как минимум 2

Поскольку числа целые, ищем подходящие Пифагоровы тройки по периметру и проверяем по площади. Быстро.😀 Но это решение для конкретных условий.🙁

Проще составить систему ab=60,a+b+c=30,a''+b''=c''последнее уравнение т.Пифагора.Решение очень простое.(30_с)"=(а+в)" далее900-60с=120 следовательно с=13.

Я тоже так решила.

В школе математику не любил,к геометрии был равнодушен.Видимо,препы были плохие.Нашел этот канал и с радостью смотрю.

Думаю пубертет рассеивал Вас. С нашими детьми тоже так было, хоть для нас - оба родителей математика была забавлением.

@liliya kaloyanova Да,уж.В юности меня куда больше математики интересовал спорт.

как тут не поставить лайк в квадрате !

Класс!

Простите, а чем Ваши способы ... неалгебраичны? Во всех случаях надо решать систему уравнений.

А+б=30-с (А+б)2=(30-с)2 А2+2аб+б2=900+с2-60с А2+б2=с2 С2+120=с2+900-60с С2-с2+60с=900-120 60с=780 С=13

Точно!

А там катеты случайно не 5 и 12 получились?)

решил я совершенно по другому,(очень просто) но ответ совпал :)

Приятно смотреть

Здравствуйте! У меня такой вопрос, давно ищу на него ответ. Думаю вы мне сможете помочь. Я не физик и грамотно объяснить вряд-ли смогу, но постараюсь. В свободное от работы время изготавливаю ворота. У ворот верхняя часть дугой, я ее гну сам на станке. К примеру, беру я прямую профильную трубу длиной 4 метра, назовем концы трубы А и Б. Пропускаем через станок, гнем дугу. Высота дуги по центру возвышается на 20см по отношению к ровной плоскости. Вопрос, на сколько сокращается длина трубы от точки А до точки Б в прямой плоскости? Наверное теперь она будет называться ширина дуги..

называется хорда в уме вычислить не получилось (25 лет тому школе прощай), както через квадрат треугольника, образуемого гипотенузой равной радиусу, первого катета равного разности радиуса и 20, второго катета равного половине искомой хорды. радиус можно вычислить через связку: длина дуги равна произведению двойного радиуса насинус половины угла сектора, образующего дугу не уверен в правильности, но 200 получилась хорда

@polkan polkanoff спасибо. Я больше надеялся что существует формула, ответ на этот вопрос.

Геометрии недостаточно. Одна стенка трубы сжимается, другая - растягивается. Сапромат, однако.

красивое решение, но до него тяжело додуматься! вот решение в лоб: 1/2 ab = 35, c2 = (a+b)2 - 2ab = (35-c)2 - 140 , все, решаем уравнение

Произведение катетов равно 60 , а далее применить теорему Пифагора. Ответ: 13

Почему произведения катетов = 60?

@Лиза потому что площадь =30, а она - полупроизведение катетов

@Богдан Лукьянов а, да. Спасибо, однако.

По теореме Пифагора, а²+b²=c². a+b+c=30 (по условию). Возведём обе стороны в квадрат: (a+b+c)²=900, раскроем скобки: a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=900. Заменим (а²+b²) на с², получим: c²+c²+2ab+2ac+2bc=900; 2c²+2ab+2ac+2bc=900; вынесем 2 за скобки и разделим обе части на 2, получим: с²+ab+ac+bc=450. Т.к. ab=60 (S=1/2ab=30, ab=60), заменим ab на 60 и получим: c²+60+ac+bc=450, c(c+a+b)=450-60; т.к. c+a+b= P=30, то 30с=390; с=390:30; с=13.

30 - число целое, а значит, все длины сторон должны быть среди пифагоровых чисел. И можно перебором найти стороны 5, 12, 13.

так-то утверждение с потолка взялось)

@Бараш Смешарик ну ответ правильный

@Movie Shorts не доказано, что других чисел нет)

@Бараш Смешарик так докажи

Лихой тандемчик. Восхищён!

Возвести в квадрат обе части заменить сумму квадратов катетов на квадрат гипотенузы а произведение катетов на удвоенную площадь треугольника и получим что гипотенуза 13

В первом случае намного легче.Что то вы усложнили.

Пусть a, b — катеты, c — гипотенуза; тогда a^2+b^2=c^2 (1). {(1/2)ab=30; a+b+c=30}; {2ab=120; a+b=30-c}; Обе части второго уравнения возводим в квадрат: (a+b)^2=(30-с)^2; a^2+2ab+c^2=900-60с+с^2. Учитывая (1) и первое уравнение системы: c^2+120=c^2-60c+900; 60c=780; c=13.

👍👍👏👏😊

а+в+с=30, а+в=30-с, а^2+2ав+в^2=900-60с+с^2, 2ав=900-60с, но 2ав=120, тогда 60с=900-120, с=13

13. Катеты 5 и12. Можно просто в лоб. Площадь прямоугольника должна быть 60. Берём 4×15. Проверяем: 4×4+15×15=241 корень из 241 чуть больше 15-ти складываем 15+15 уже 30, а ещё 4. Не подходит берём вторую пару: 6 и 10 проверяем 6×6+10×10=136. 11

Да я тоже решила именно этим способом, очень легко и просто, в школе любила геометрию

Называется подогнать решение под ответ. Никто не будет умножать 15 на 4 понимая, что катет не может быть длиннее гипотенузы, котрая равна 13.

@Dem0n XX подогнать ответ, это если ответ известен. А это называется методом подбора.

👍👍👍

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нашла без особого труда, 13. Квадратное уравнение с с.

Площадь треугольника = произведение катетов/2. Произведение катетов = 60=2×2×3×5=12×5. Гипотенуза = 30-12-5=13. Проверка: 13^=12^+5^=169=144+25. Задача решена /устно/

Ответ-решение Arbo12.1дн.назад ГЕНИАЛЕН!!!!!! БРАВО!!!!!!

долго разглядывал во втором способе про две гипотенузы вторую гипотенузу и что есть х и откуда он взялся, начал писать разгромный комент. Однако, я допер, что такое х в решении. х - отрезок, состоящий из отрезков с одним и двумя штрихами, что есть длина гипотенузы большого треугольника, и есть еще два отрезка с такой же длиной в его катетах, что в сумме даст такую же длину, что и гипотенуза. явно оратор слишком хорошего мнения о зрителях - на видео этот момент самый просматриваемый, видимо, это не для всех очевидно. было бы неплохо полет мысли излагать более подробно.

Я решил, 2 способом)

Второе решение недостаточно хорошо объяснено, какие 2 гипотенузы

Вот и я про то,какие гипотенузы?

@Митя Крыгин , гипотенуза складывается из отрезков штрих + два штриха. Плюс два катета - штрих+2 и два штриха+2. Соответственно отрезки со штрихами из катетаов и составляют вторую гипотенузу.

Замеч. Площадь не 30 ед., а 30 кв. единиц

Pr/2 не помню. Помню формулу Геррона любимую извращенцами)

Извращенец тот , кто не зная радиуса вписанной окружности считает площадь по этой формуле

А я, тупо, подобрал. Дорисовал треугольник до прямоугольника, площадь которого равна 60-и. А это либо 6×10, либо 5×12. 6×10 не подходит, а вот стороны 5 и 12 как раз в сумме квадратов дают 196, что является 13 в квадрате.

Решила напролом через систему трех уравнений с тремя неизвестными🤣

Почему-то, когда можно решить без квадратов, стараюсь их избежать.

@Шуст Третьяк почему-то, когда лень думать, идёшь напролом. Лично мне пришло в голову решить через систему из трех уравнений, потому что, во-первых, лень думать, во-вторых, геома плохая

Каких двух гипотенуз и двух отрезков???

Ну есть долгий, но уверенный способ a2+b2=c2 a+b+c=30 ab=60 60/b+b+c-30=0 b2+(c-30)b+60=0 c2-60c+900-240=c2-60c+660 b=(30-c+√(c2-60c+660))/2 3600/b2+b2=c2 b4-c2b2+3600=0 c4-14400 b2=(c2+-√(c4-14400))/2 2(c2+-√(c4-14400))=(30-c+√(c2-60c+660))2 900+c2+c2-60c+660-60c+2(30-c)√(c2-60c+660)=2(c2+-√(c4-14400)) -60c+780=+-√(c4-14400)-(30-c)√(c2-60c+660) Ну а далее в калькуляторе получим 13

А почему гипотетически не может быть 14, а катеты по 10 и 6?

Потому что площадь такого треугольника равна √810≈28,46≠30.

потому что сумма квадратов катетов (136) не равна квадрату гипотенузы (196). Пифагор негодует!

Очен спасиба!1 Я из Болгария , также извините за мой булгаро-рускии...А сеичас усльшате моя задача--Толька с три единакивае цифри и внсю математику ,включая и операция синус , получите равенства 24. Задача имеет несколка решения , ну найдите поне три... Спасиба!!!

P=a+b+c= 30 S=a.b/2 = 30 a.b= 2.30=60 Теорема Пифагора: c^2=a^2+b^2 Но a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2.a.b = (a+b)^2 - 2.60 (a+b)= Р- с = 30 - c (a+b)^2= (30-c)^2 c^2= 900-2.30.c+ c^2 - 2.a.b 0=900- 60.c- 2.60 60c=900 - 120 c=78/6 =13

Вроде 6 способов, ну и подбором, если кто-то считает это способом, конечно

Перемудрили, а на самом деле - проще пареной репы. 5, 12, 13.

2ой мужик очень разумный.

ЗАУМНЫЙ

Боже. Я пол тетрадки исписал перед правильным решением. И мой способ отличается. Я решал через систему. Первое уравнение вывел из теоремы Пифагора(x^2+(60/x)^2= y^2, где х - это катет, а y - гипотенуза), второе из периметра(30-x-(60/x) = y, где x - катет, а y - гипотенуза). Упростил, методом подстановки решил. Получил квадратное уравнение. Из него выяснил, что катет может быть как 5 так и 12. А гипотенуза везде равна 13)

Второй способ легко чем первый.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате, а периметр в погонных единицах измерения. И эти величины всегда разные. 30 м2 и 30 м это две большие разницы. 30 ед2 не могут быть равными 30 ед никак

Гипотенуза равна 13

Элементарно Ватсон Уравнение с двумя неизвестными для пятого класса

a+b=p-c

Частнык случаи не интересны... Давайте уже обобщайте для всех типов треугольников... Или даже для всех многоугольников!)

5, 12, 13.

Где-то около 11.

Не очень изящные решения, однако

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, необходимо составить систему уравнений: допустим катеты равны в и с, тогда в^2+с^2=169 в+с=30 Решая данную систему выражаем из 2-го уравнения в=17-с и подставляем в 1-ое уравнение, получаем 289-34с+2с^2=169. Приводим подобные с подобными, получаем квадратное уравнение: с^2-17с+60=0 По теореме Виетта получаем: х1+х2=17 х1*х2=60 Находим корни уравнения 12 и 5. Следовательно, катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5 единицам. Ответ: 12 и 5

Гипотенуза 14

a1=5 ;b1=12 a2=12 ;b2=5

Посмотрев коммент Силва Адамяна согласилься с ними с=Р/2-2S/P,c=30/2-2×30/30=15-2=13

Соответственно а+в=Р/2 +2S/P

6 10 14 6 на 10 ,2 30

У меня почему-то 14 получилось