Это к третьему (тригонометрическому) способу, как вариант: Если с - гипотенуза, a и b катеты, то а = с*sin α, b = c*cos α согласно определению тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. S = (a*b)/2 = (c²*sinα*cosα)/2 = (c² * sin2α)/4. Подставляем S = 2 и с = 4. Получаем 2 = (16*sin2α)/4, то есть 8 = 16* sin2α или sin2α = 1/2, 2α = 30˚, α = 15˚. Либо 2α = 150˚, α = 75˚.

@Владимир Волынский Да, это постороннее решение, не удовлетворяющее условию задачи.

Решал точно также. Это наиболее простой и понятный способ без использования сложных вычислений и дополнительных построений. Странно, что автор ролика не предложил именно этот способ.

Собственно именно так я и решил. Непонятно, зачем в третьем примере нужно симметричное отражение?

По моей формуле плошадь треугольника можно найти так: площадь прямоугольного треугольника равняется половине квадрату катета умноженном на тангенс прилежащего к нему угла: S=1/2*a^2*tg(a) Теперь найдем прилежащий к углу альфа катет a: a=4cosa; подставим теперь в формулу: 2=1/2*16*cos(a)^2*tg(a)=8cos(a)*sin(a)=4sin(2a) =>2a=arcsin(2/4)=> a=15 градусов

Как вам мой способ: Отражаем треугольник относительно нижней стороны. У нас получается равнобедренный треугольник со сторонами 4 и площадью 4 (угол между равными сторонами - 2альфа). Площадь треугольника можно найти по формуле 1/2*а*б*sin(угла между ними) подставляем данные и получаем уравнение: 4=0,5*4*4*sin(2a) Отсюда Sin(2a)=1/2 2а=30⁰ а=15⁰

@Андрей Щетников я согласен.

Прекрасная идея!

Лучшее

Самое лаконичное

Проводим высоту к гипотенузе, она равна 1. Проводим медиану к гипотенузе она равна 2, у нас образовался прямоугольный треугольник с катетом 1 и гипотенузой 2, значит угол в этом треугольнике напротив высоты равен 30градусов. и также у нас есть равнобедренный треугольник с углами при основании альфа, а 30 это 2 альфа, значит альфа равен 15 градусов

Это лучшее решение! (потому что я тоже так решил 😄)

Для решения этой задачи есть множество правильных вариантов, я думаю, которые усложняются намеренно. Предложенный вариант, решения поставленной задачи, с использованием медианы, показывает, неоспоримую, элегантность решения подобных задач.

Красиво!

Строим симметричный треугольник относительно длинного катета. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 4 и площадь 4. Опустим высоту на боковую сторону и выразим площадь как половина произведения этой высоты на боковую сторону , откуда получим что эта высота будет равна 2. И все.

@Tom Tom да , продолжение именно такое. Я просто подумал что дальше уже очевидно

👍👍👍 Так на много проще. Не все. 2/4=Sin2Альфа, 2Альфа=30градусов. Альфа=15.

По моему, проще: проводим высоту и медиану к данной гипотенузе. Высота 1 (следует из площади, как позазано в видео), медиана 2 (радиус описанной окружности), и они формируют треугольник с гипотенузой в двое длиннее катета, т.е 30-60-90. Угол против катета (т.е. высоты), размером 30° - это центральный угол окружности описанной вокруг изначальното треугольника, на хорде. Соответственно, угол альфа на той же хорде - половина, т.е. 15°. smgxx описал что-то подобное ниже...

Я тоже так решала

Ещё способ - достраиваем треугольник до прямоугольника. Запишем его площадь через диагонали - 1/2d^2sin(d^d)=1/2*4^2*sin (d^d)=4. Значит, sin(d^d)=1/2, а угол 150 (согласно чертежу). Из р/б треугольника получаем, что альфа равен 15 градусам

И без заморочек!и поэтому дети и не понимают что он несет !

Красивое решение, пожалуй самое лучшее из всех! Браво!!!

Если уж привлекаете тригонометрию, то можно проще: a=4cos(alpha); b=4sin(alpha): 16 sin(al) cos(al) =4; > sin2(al)=1/2> al=15*

Достроим до прямоугольника. Тогда: 1) площадь прямоугольника S=4; 2) d=4 - одна из диагоналей прямоугольника; 3) D=4 - вторая диагональ этого прямоугольника; 4) один из уголов между диагоналями β = 2α. Воспользовавшись связью между длинами диагоналей, площадью и углом между диагоналями в параллелограмме d = (2*S) / (D*sinβ), получим: 4 = (2*4) / (4*sin2α); разделив левую и правую часть на 4, получим 1 = 1 / (2 * sin2α); т.е. sin2α = 1 / 2; откуда α = 15˚

Действительно классная задача. Первое решение - оно на виду, но совершенно не оптимальное.

Я пошёл решать в лоб: Составил систему уравнений через площадь и теорему пифагора: 4=ав 16=a^2+b^2 Путём преобразований (не оптимальных) пришёл к уравнению b^4-16b^2+16=0 x=b^2 x^2-16x+16=0 D=192 x1=14,93 x2=2,14 Получились ДВА треугольника: Треугольник 1 b=3,86; a=1,04; alfa=15 градусов; S=2 Треугольник 2 b= 1,46; a=2,74; alfa=43 градуса; S=2 НО! У второго треугольника не получается гипотенуза равная 4-м! Она получается 3,1 Вопрос: почему так вышло? Как мог получится второй неправильный треугольник из системы уравнений, завязанной на гипотенузу?! На каком этапе и почему я должен был его отбросить? Буду благодарен за ответы.

спасибо за разбор интересной задачи

Дорисовать до ромба со стороной 4, так что исходный треугольник будет четвертинкой. А2*sina=8,. sina=1/2

Отличное решение!

Стыдно признать, но я уже многого не понимаю и не помню. Хотелось бы оказаться на уроке алгебры и геометрии. Очень любила эти уроки.

Нет, очень громоздкое решение. Решение Волкова больше нравится, но здесь в комментариях есть более красивое и простое решение у Марии. Но всё равно спасибо, что побудили порешать эту задачу ещё раз.

Если вписать этот треугольник в окружность, то её радиус будет равен половине гипотенузы. А из S=(1/2)*a*h длина высоты из прямого угла на гипотенузу равна 1. Построив из центра описанной окружности второй радиус к прямому углу заметим что угол между ним и гипотенузой равен 30°, а искомый угол опирается на ту же дугу. А вписанный угол в два раза меньше центрального.😉

По моей формуле плошадь треугольника можно найти так: площадь прямоугольного треугольника равняется половине квадрату катета умноженном на тангенс прилежащего к нему угла: S=1/2*a^2*tg(a) Теперь найдем прилежащий к углу альфа катет a: a=4cosa; подставим теперь в формулу: 2=1/2*16*cos(a)^2*tg(a)=8cos(a)*sin(a)=4sin(2a) =>2a=arcsin(2/4)=> a=15 градусов

@Вова Ющак В начале же решили, что надо найти только угол меньше 45 градусов

arcsin(2/4)=150° , откуда еще одно решение 75° вполне "укладывается" в прямоугольный треугольник.

Спасибо за ваши уроки. Помогите, пожалуйста, решить задачу. Есть треугольник. Из одного угла проведена биссектриса, которая разбивает площадь заданного треугольника в отношении 1 к 2. Надо найти углы треугольника. Заранее благодарен. Спасибо.

@Žanna Kočubeja да, это похоже и есть решение. Спасибо вам за помощь.

Если больше ничего не дано, то углы при основании должны удовлетворять соотношению sinA =2sin B (из площадей через синус) и при этом дополнять верхний до 180. Например, 90 и 30 при основании, если верхний 60 градусов.

Попробуйте использовать теорему о том, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (ну и площадь тоже). Если получите нечто странное, не удивляйтесь и проверьте своё решение ещё раз.

а как насчет достроить до прямоугольника и записать его площадь через диагональ и угол между диагоналями? 4 = 0,5 * 4 * 4 * sin2α ПС. кстати, полезная информация, которую можно и запомнить - синус и косинус угла 15 градусов

Может вторая высота равна 2а не по теореме Фалеса, а из подобия треугольников?

В третье способе кувыркните ещё раз через гипотенузу. Всего получится 4 треуголника общей площади 8, т.е. высота 4, т.е. правильный треугольник, ответ 60/4 градусов.

Находим сторону, она будет равна 0.5 отсюда угол равен 15 градусов, если был бы 30 то сторона равна была бы 2

а нельзя найти катеты таким образом: 1). Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a^2+b^=16 2) Площадь равна полупоизведению катетов. 0.5ab=2, т.е. ab=4 Ну, вот, два уравнения с двумя неизвестными.

Ваш способ достаточно легкий и требует минимальных познаний. вопрос вот в чём- как мы найдём какой из катетов есть кто. В целом, он примерно помогает определить угол- либо 15• либо 75.

Спасибо, решила третьем способом.

не долго думая площадь через произведение сторон 4sinα*4cosα/2=2 и дальше через синус двойного угла

Очень хорошо, только площадь в единицах не меряется, вы пропустили слово в квадратных единицах.

Ответа на самом деле 2. Мне понравилось решение номер 1, так как оно похоже на моё: S=0.5*a*ha a= 4cos(x) ha= 4sin(x) 0.5*4sin(x)*4cos(x)=2 Ответы в итоге такие: x= 15° и x= 75°

Это 1 ответ, просто повернули треугольник по-разому: 15+75+90=180

Спасибо !

Речь идёт о втором способе решения задачи.

Я эту задачу решил через систему уравнений, который привел после к квадратному. Решение вышло не однозначным

Последний способ люкс. Лайк

Позавчера решал такое. ValeryVolkov на канале выкладывал. ЕМНИП 15°

@alexvleyko да, но я отписал еще до просмотра. На превьюшке узнал.

В начале видео об этом сказано

2 способ красивее)

Алгебра это святое

А ничего, что катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Это я в школе лет 30 назад проходил - как щас помню...

@Prestizh Shop надо заметить, что человек понял всё правильно. Т.е. обратное условие- напротив катета, равного половине гипотенузы, лежит угол в 30• здесь не работает . Это напоминает мне ломаные школьные задачки с нахождением сторон треугольника до изучения теоремы Пифагора, в которых сумма квадратов катетов была меньше квадрата гипотенузы . Т.е. данного треугольника вообще-то не должно существовать. Площадь в любом случае будет равна 2 на 2 и на половину. Т.к. есть как минимум один угол 30°(которых вообще должно быть два!!!!) . Я честно говоря не помню теорему о соотношении сторон треугольника, но что-то мне подсказывает, что она тут не работает. Чрезмерное усложнение задачи привело к её нереальности.

Нет, нет, ты не правильно понял. Искомый угол равен 15 градусам, угол в 30 градусов - это двойной угол, формула тригонометрическая такая есть (. sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a). )

Не понял только, ПОЧЕМУ высота, опущенная из вершины ПРЯМОГО угла в исходном треугольнике равна ЕДИНИЦЕ???!!!

Потому что площадь равна 2, а площадь треугольника = 1/2 основание * высоту.

👍👍👍👍👍👍

Вы, супер преподаватель я в Геометрии начинающий но даже мне что то понятно здесь)

Якщо би він був супер викладачем, то розв'язав би цю задачу оптимальним способом, доступним навіть для учнів 7 класу, чого і очікував автор задачі. Див., наприклад, коментар smgxxx.

Там у вас площадь четырехугольника равно 2+2=4 а не 8!

Второй способ.

Объясните пожалуйста малограмотному, откуда нашли величину высоты к гипотенузе?

@alexivch54 да, большое спасибо, выше уже ответили. Отсутствие символа площади (S) подкосило воображение, воспринял двойку, как один из линейных размеров.

@Павло Кур'ята батько, а з ким це Ви, тiльки що балакали? 🤔🤔

S = (ch)/2. отсюда h = (2S)/c = (2*2)/4 = 1 (S = площадь треугольника, c - гипотенуза, h = высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе).

@Prestizh Shop спасибо большое. Стыдно забыть такие элементарные моменты.

Из стандартной формулы площади треугольника. S = (ah)/2, а подставив значения, получаем 2=(4*h)/2

Я чего-то не понимаю, по моему сторона не может быть больше, чем площадь

@Just Potato А если подумать? Чего уж проще: сторона 10, высота 0.1, какая будет площадь?

@Андрей Щетников можно сколько угодно приближаться к нулю, всё равно сторона будет меньше*

Ещё как может можно сделать треугольник с основанием 1000 чтобы у него площадь была меньше 1/1000, надо только чтобы высота была очень маленькой